解析に関するもの

解答正解 2

積の微分法 (uv)′＝u′v＋uv′ と、合成関数の微分 (e^(2x))′＝2e^(2x) を組み合わせる。u＝x³、v＝e^(2x) とすると f′(x)＝3x²e^(2x)＋x³・2e^(2x)＝(3x²＋2x³)e^(2x) で、x＝1 では 5e² となる。指数の肩の係数 2 が微分で前に出る点を忘れやすい。

解答正解 3

半角の公式 sin²x＝(1－cos2x)／2 を用いると、∫₀^π (1－cos2x)／2 dx＝[x／2－sin2x／4]₀^π＝π／2 となる。sin²x は 0 から 1 の間を振動し、区間 [0, π] での平均値が 1／2 なので、π×1／2＝π／2 と見積もっても検算できる。

解答正解 1

固有値は特性方程式 det(A－λI)＝0 の解である。(3－λ)(2－λ)－1×2＝λ²－5λ＋4＝(λ－1)(λ－4)＝0 より λ＝1、4 となる。固有値の和はトレース（3＋2＝5）、積は行列式（3×2－1×2＝4）に等しいという性質で検算できる。

解答正解 1

2 次正方行列 (a b; c d) の逆行列は (1／det)(d －b; －c a)、det＝ad－bc である。A では det＝1×(－1)－2×3＝－7、A⁻¹＝(1／－7)(－1 －2; －3 1)＝(1／7)(1 2; 3 －1) となる。よって (x, y)ᵀ＝A⁻¹(5, 1)ᵀ＝(1, 2)ᵀ である。解は元の二つの式に代入して必ず確かめる。

解答正解 2

f(x)＝x²－2、f′(x)＝2x より、反復式は x(n+1)＝x(n)－(x(n)²－2)／(2x(n))＝(x(n)＋2／x(n))／2 となる。x₁＝(1＋2)／2＝1.5、x₂＝(1.5＋2／1.5)／2＝17／12≒1.4167 である。ニュートン法は接線を用いる方法で、初期値が解に近ければ収束が速く、誤差の桁数が反復ごとにほぼ倍になる。

解答正解 4

台形公式は、各小区間で関数を直線で近似し、台形の面積を合計する方法で、h×{f₀／2＋f₁＋…＋f(n－1)＋fn／2} と表される。ここでは 0.5×(0＋0.25＋0.5)＝0.375 で、真値の 1／3 より大きい。x² のように下に凸な関数では、弦が曲線の上側にくるため、台形公式は真値より大きくなる。

解答正解 4

変数分離により dy／y＝－3dt、ln|y|＝－3t＋C、y＝y(0)e^(－3t)＝2e^(－3t) となる。y＝1 とおくと e^(－3t)＝1／2 であるから t＝ln2／3≒0.231 である。半減期は初期値に依存せず、係数のみで決まる。放射性崩壊や RC 回路の放電など、指数関数的な減衰に共通する考え方である。

解答正解 5

定数係数の線形同次方程式では y＝e^(λx) を代入し、特性方程式 λ²－3λ＋2＝0 を得る。解が異なる実数なら e^(λ₁x) と e^(λ₂x) の線形結合、重解なら (C₁＋C₂x)e^(λx)、複素数解 α±iβ なら e^(αx)(C₁cosβx＋C₂sinβx) となる。この判別式による場合分けは、振動や減衰の挙動を調べる際の基礎になる。

解答正解 1

垂直抗力は N＝mg＝2.0×9.8＝19.6 N で、動摩擦力は μ′N＝0.20×19.6＝3.92 N、向きは運動と逆である。運動方程式 ma＝F－μ′mg より、a＝(10－3.92)／2.0＝3.04 m/s² となる。力の向きと単位をそろえ、質量で割る手順を確認する問題である。

解答正解 2

単振動の運動方程式 m x″＝－kx から、角振動数は ω＝√(k／m)＝√(200／2.0)＝10 rad/s、周期は T＝2π／ω＝2π√(m／k)＝0.63 s となる。周期は振幅に依存せず、質量が大きいほど長く、ばねが硬い（k が大きい）ほど短い。この定性的な関係を使うと、63 s のような極端な答えを除外できる。

解答正解 3

準静的な断熱変化では PV^γ＝一定が成り立つので、P₂＝P₁(V₁／V₂)^γ＝100×2^1.4＝264 kPa となる。等温圧縮なら 200 kPa であり、断熱圧縮では外部からされた仕事が内部エネルギーとなって温度が上がるため、圧力は等温より大きくなる。この大小関係から、答えが 200 kPa より大きくなることを検算できる。

解答正解 4

カルノーサイクルの熱効率は、熱源の絶対温度 T_H、T_L により η＝1－T_L／T_H で与えられる。ここでは η＝1－300／500＝0.4 で、仕事 W＝ηQ_H＝400 J、低温熱源へ捨てる熱は 600 J となる。温度は必ず絶対温度（K）で計算する点と、効率が可逆機関の上限である点が重要である。

解答正解 3

連続の式 A₁v₁＝A₂v₂ と断面積が直径の 2 乗に比例することから、v₂＝v₁(d₁／d₂)²＝2.0×4＝8.0 m/s となる。水平管ではベルヌーイの式 p₁＋ρv₁²／2＝p₂＋ρv₂²／2 より、圧力差は p₁－p₂＝ρ(v₂²－v₁²)／2＝30 kPa で、流れが速い細い部分の圧力のほうが低くなる。

解答正解 5

無限に長い直線電流から距離 r の点の磁束密度は、アンペアの法則から B＝μ₀I／(2πr) で、向きは右ねじの法則で定まる。μ₀＝4π×10⁻⁷ を代入すると B＝2×10⁻⁷×I／r となり、I＝10 A、r＝0.05 m で 4.0×10⁻⁵ T である。この式の 2×10⁻⁷ という係数は覚えておくと便利である。

解答正解 5

磁場に垂直に入射した荷電粒子には、速度と垂直な向きにローレンツ力 evB が働き、これが向心力となる。mv²／r＝evB より r＝mv／(eB) が得られる。値を代入すると約 5.7×10⁻⁴ m（約 0.57 mm）となる。半径は速さと質量に比例し、磁束密度と電荷に反比例するので、B を大きくすると半径は小さくなる。