連立一次方程式 x＋2y＝5、3x－y＝1 を、行列 A＝(1 2; 3 －1) を用いて A(x, y)ᵀ＝(5, 1)ᵀ と表す。逆行列 A⁻¹ を用いて得られる解 (x, y) は、次のうちどれか。
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解答正解 1
2 次正方行列 (a b; c d) の逆行列は (1／det)(d －b; －c a)、det＝ad－bc である。A では det＝1×(－1)－2×3＝－7、A⁻¹＝(1／－7)(－1 －2; －3 1)＝(1／7)(1 2; 3 －1) となる。よって (x, y)ᵀ＝A⁻¹(5, 1)ᵀ＝(1, 2)ᵀ である。解は元の二つの式に代入して必ず確かめる。
選択肢ごとの判定
1正しい。det A＝－7、A⁻¹＝(1／7)(1 2; 3 －1) より、(x, y)＝(1／7)(5＋2, 15－1)＝(1, 2) となる。
2x と y の値を入れ替えた誤り。代入すると 2＋2＝4 となり、第 1 式を満たさない。
3第 2 式 3x－y＝1 のみを満たす値。第 1 式に代入すると 2＋10＝12 となり、5 にならない。
4第 1 式 x＋2y＝5 のみを満たす値。第 2 式に代入すると 9－1＝8 となり、1 にならない。
5右辺のベクトルをそのまま解とした誤り。代入すると第 1 式は 5＋2＝7 となり成り立たない。