定積分 ∫₀^π sin²x dx の値は、次のうちどれか。
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解答正解 3
半角の公式 sin²x＝(1－cos2x)／2 を用いると、∫₀^π (1－cos2x)／2 dx＝[x／2－sin2x／4]₀^π＝π／2 となる。sin²x は 0 から 1 の間を振動し、区間 [0, π] での平均値が 1／2 なので、π×1／2＝π／2 と見積もっても検算できる。
選択肢ごとの判定
1原始関数を sin³x／3 のように誤って求め、上端と下端で評価して 0 とした値。sin²x の積分は、そのように求められない。
2積分区間を 0 から π／2 とした場合の値。設問の区間は 0 から π である。
3正しい。sin²x＝(1－cos2x)／2 より、∫₀^π sin²x dx＝π／2 となる。
4被積分関数を sin x とみなした場合の ∫₀^π sin x dx の値。
5被積分関数を定数 1 とみなした場合の値。sin²x の平均値は 1／2 であり、区間の長さ π に 1／2 を掛ける必要がある。