微分方程式 y″－3y′＋2y＝0 の一般解として正しいものは、次のうちどれか。ただし、C₁、C₂ は任意定数とする。
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解答正解 5
定数係数の線形同次方程式では y＝e^(λx) を代入し、特性方程式 λ²－3λ＋2＝0 を得る。解が異なる実数なら e^(λ₁x) と e^(λ₂x) の線形結合、重解なら (C₁＋C₂x)e^(λx)、複素数解 α±iβ なら e^(αx)(C₁cosβx＋C₂sinβx) となる。この判別式による場合分けは、振動や減衰の挙動を調べる際の基礎になる。
選択肢ごとの判定
1特性方程式の解の符号を取り違えた誤り。λ²－3λ＋2＝0 の解は正の値である。
2特性方程式の係数 2 と 3 をそのまま指数にした誤り。指数は特性方程式の解である。
3複素数の解を持つ場合の形。この特性方程式は判別式が正で、二つの異なる実数解を持つ。
4重解を持つ場合の形。この特性方程式は重解ではなく、二つの異なる実数解を持つ。
5正しい。特性方程式 λ²－3λ＋2＝(λ－1)(λ－2)＝0 より λ＝1、2 であり、一般解はそれぞれの指数関数の線形結合である。